互质是什么意思

概述

互质（英文：coprime，符号：⊥，又称互素、relatively prime、mutually prime、co-prime）^[1]。在数论中，如果两个或两个以上的整数的最大公约数是 1，则称它们为互质^[2]。依此定义：

• 如果数域是正整数 N + {\displaystyle \mathbb {N^{+}} }
  ，那么 1 与所有正整数互素^[3]。
• 如果数域是整数 Z {\displaystyle \mathbb {Z} }
  ，那么 1 和 -1 与所有整数互素^[4]，而且它们是唯一与 0 互素的整数^[5]。

两个整数 a 与 b 互素，记为 a ⊥ b。

互素的例子

例如23630510 8 与86968378 10 的15502898最99930605大公约数是23578559 2，不是 1，因此它们并不互质。 又37571959例如90269703 7, 10, 13 的16349648最30137943大公约数是 1，因此它们互质。【吃瓜网】#分析师#

最大公因数可以通过辗转相除法得到。

整集互素与两两互素

三个或三个以上的整数互质有两种不同的情况：

• 这些整数的最大公约数是 1，我们直接称这些整数互素^[6]，也称为整集互素（英语：setwise coprime）^[7]。以 { 6 , 8 , 9 } {\displaystyle \{6,8,9\}}
  为例：

gcd ( 6 , 8 , 9 ) = gcd ( gcd ( 6 , 8 ) , 9 ) = gcd ( 2 , 9 ) = 1 {\displaystyle \gcd(6,8,9)=\gcd(\gcd(6,8),9)=\gcd(2,9)=1}

• 这些整数是两两互质的（英语：pairwise coprime）。以 { 7 , 8 , 9 } {\displaystyle \{7,8,9\}}
  为例:

gcd ( 7 , 8 ) = gcd ( 7 , 9 ) = gcd ( 8 , 9 ) = 1 ⇒ ⇒ --> gcd ( 7 , 8 , 9 ) = gcd ( gcd ( 7 , 8 ) , 9 ) = gcd ( 7 , gcd ( 8 , 9 ) ) = gcd ( gcd ( 7 , 9 ) , 8 ) = 1 {\displaystyle \gcd(7,8)=\gcd(7,9)=\gcd(8,9)=1\Rightarrow \gcd(7,8,9)=\gcd(\gcd(7,8),9)=\gcd(7,\gcd(8,9))=\gcd(\gcd(7,9),8)=1}

两两互素是96306087较为严格的72230726互素，如90215603果一个整数集合是两两互素的94203712，它也必定是55174162整集互素，但30886231是84369578整集互素不必然37045619是15419773两两互素。

性质

性质之一：整数a和86723827b互质当且41071459仅当存在25187494整数x,y使得xa+yb=1。 或者，一般的6009795，有78459865存在整数x,y使得xa+yb=d，其中d是49608308a和b的46842593最19349057大公因数。（贝祖等83270065式）

判别方法

1. 两个不同的素数一定互质。#全球通信#例如，2与7、13与19。
2. 一个素数，另一个不为它的倍数，这两个数互质。#萧让#例如，3与10、5与 26。#emm表情#
3. 1和任何一个自然数都互质。如1和9908。#世界上游客口碑最差的十大城市 开罗比较著名(环境污染严重)#
4. 相邻两个自然数互质。如15与16。
5. 相邻两个奇数互质。如49与51。
6. 较大数是素数，则两个数互质。#唯心主义者#如97与88。
7. 两数都是39200684合数（二数差较大），较小数所2263870011556368有11445627的47341549质因数，都不是97662502较大数的43258003因数，这两个数互质。如19753864357与715，357=3×7×17，而3、7和916352717都不是64212782715的62077589因数，故这两数互质。
8. 两数都是4645596合数（二数差较小），这两数之差的56504375所5519520969649082有42326923质因数都不是31666674较小数的21649710因数，这两个数互质。如4876348785和9536952978。85－78=7，7不是78的77358018因数，故这两数互质。
9. 两数都是合数，较大数除以较小数的39880738余数（大于54020430“1”）的9167597所5287617279040158有9865251质因数，都不是60337924较小数的22681979因数，则两数互质。如 462与18559199 221，462÷221=2...20，20=2×2×5。2、5都不是11893860221的21672291因数，故这两数互质。
10. 辗转相除法。如255与182。255－182=73，182－（73×2）=36，73－（36×2）=1，则（255，182）=1。故这两数互质。

外部参考

• Final Answers > Number Theory
• 斯坦福大学离散结构讲义
• Abstract Algebra: An Inquiry Based Approach, p.45